决策标准

计算criteria以及推导

d'表示信号和噪音分布的均值之间的距离，无论横坐标的零点在哪里，d'的值不会受到任何影响。而决策标准（用C表示）的计算方式则没有恒定的公式，它会受横坐标零点影响。通常来说，我们会把横坐标的零点定在信号和噪音分布的均值的正中间，那么C的值就等于$\frac{d'}{2}$加漏报率的Z函数反函数，即 $\frac{d'}{2}$减去击中率的Z函数反函数（由Eq.x得到（后续统一把公式编号完成后再补上）），即：

$$C=\frac{d'}{2}+Z_M=\frac{Z_H-Z_{FA}}{2}-Z_H=-\frac{Z_H+Z_{FA}}{2}$$

如果 $z(FA)$和 $z(H)$一起相等地向上或向下移动，那么它们的间距（d’）显然保持不变，故 $z(FA)$和 $z(H)$的共同变化反映了标准偏移。

图1

信号检测论中，决策标准还可以用其他方式来定义。当被试感知到刺激时，刺激的强度正好在图2中决策标准的位置，我们可以计算该刺激强度在信号分布中出现的概率有多大，在噪音分布中出现的概率有多大。于是我们可以用likelihood ratio来表示两者的比值，即：

$$\beta=\frac{\phi H}{\phi FA}$$

当 $\beta$大于1时，该刺激更有可能是信号；当 $\beta$小于1时，该刺激更有可能是噪音。

当信号和噪音的分布均为标准正态分布时，则有：

$$\beta=\frac{\phi H}{\phi FA}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(\frac{-Z_H^2}{2})}{\frac{1}{\sqrt {2\pi}}exp(\frac{-Z_{FA}^2}{2})}=exp(\frac{Z_{FA}^2-Z_H^2}{2})=exp(C*d')$$

图2

故C和 $\beta$之间是有对应关系的。当 $C=0$时， $\beta$正好是等于1；当 $C<0$时， $\beta<1$，即噪音出现的概率是大于信号的；当 $C>0$时， $\beta>1$，即信号出现的概率是大于噪音的。

图3

当信号和噪音分布的距离（d'）不发生变化的时候，C改变会引起正确率的变化，那么我们如何通过C值计算正确率呢？正确率等于击中率加正确拒绝率，即

$$P(C)=\frac{P_H+P_{CR}}{2}=0.5+\frac{P_H-P_{FA}}{2}$$

当C=0时，正确率达到最大值：

$$P(C=0)=P(C)_{max}=P(H)=P(CR)$$

此时，

$$d'=Z_H+Z_{CR}=2*P(C)_{max}$$

$$P(C)_{max}=\Phi(\frac{d'}{2})$$

所以当d'增大时，正确率也会增大。