3.4 拓展阅读：p值

思考题

为了比较华东师大学生2023年和2022年的饭量差异，我们分别测量了一些学生各自在2023年与2022年的饭量平均值，并将此数据集记为 $\text data$.

$H_0$: 2022年和2023年的饭量没有显著差异

$H_1$: 2022年和2023年的饭量有显著差异

然后你做了一个简单t检验

请问这个$p$值的意义?

1. $H_0$为真的概率, 即$p(H_0=\text True)$

2. $H_1$为真的概率, 即$p(H_1=\text True)$

3. 基于当前数据，$H_0$为真的概率，即$p(H_0=\text True | \text data)$

4. 基于当前数据，$H_1$为真的概率，即$p(H_1=\text True |\text data)$

5. 如果$H_0$为真，观察到$\text data$当前数据的概率，即$p(\text data | H_0=\text True)$

6. 如果$H_1$为真，观察到当前数据的概率，即$p(\text data | H_1=\text True)$

7. 如果$H_0$为真，观察到当前数据甚至更极端的数据的概率，即$p(\text data或者更极端 | H_0=\text True)$

8. 如果$H_1$为真，观察到data甚至更极端的数据的概率，即$p(\text data或者更极端 | H_1=\text True)$

在假设检验中，我们认为数据可能是在两种原因下产生的，一是$H_0$，二是$H_1$。在$t$检验中，我们假设$H_0$为真，$p$值代表的含义是观察到当前数据以及更极端数据的可能性。因此，如果我们使用条件概率的方式来看待熟悉的假设检验，正确的表示为：$p = p(\text data或者更极端 | H_0=\text True)$

进一步思考

1. $p(\text data或者更极端| H_0=\text True) + p(\text data或者更极端| H_1=\text True) = 1$ 一定成立吗？

2. 有没有可能 $p(\text data或者更极端 | H_1=\text True) < p(\text data或者更极端 | H_0=\text True)$?

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一方面，如果我们使用本章所学的似然函数的角度看待这个问题，我们可以将此问题中出现的概率填入洒水问题相似的表格。

首先，将data或者更极端记做 $\hat {data}$，比data更常见记做 ${data}$，可以得到表格如下:

对于问题1，由似然函数的性质可知，$p(\text data或者更极端| H_0=\text True) + p(\text data或者更极端| H_1=\text True) = p+q$ 不一定等于 1

但对于问题2， $p(\text data或者更极端 | H_1=\text True) < p(\text data或者更极端 | H_0=\text True) \iff q<p$$p+ q$ 的取值似乎并没有限制。

另一方面，我们可以使用直观作图的方法来探究这两个问题。

首先，我们需要明确 $\text data或者更极端$ 的定义。由于我们使用的是双尾检验，那么如下图3.1所示， $\text data或者更极端$ 应该被定义为data以及远离 $H_0$ 分布中心。

接着，我们对$H_0$和$H_1$代表的两个分布进行可视化 (注意：$H_0$和$H_1$代表的两个分布方差一致)

在图3.2中，条件概率被表示为曲线下面积，如蓝色部分面积表示了$p(\text data或者更极端| H_0=\text True)$,红色部分面积表示了$p(\text data或者更极端 | H_1=\text True)$，橙色部分面积则表示了$p(\text data| H_1=\text True)$。我们知道红色部分和橙色部分面积之和一定等于1。那么明显的（例如图中的极端情况蓝色部分面积远远小于橙色部分，并且很幸运的是，对于问题一我们只需举出一个反例就可以完全推翻），蓝色部分面积并不恒等于橙色部分面积，因此蓝色部分与红色部分面积综合并不一定为1。

图3.2

对于问题2：

1. 当$H_1$在$H_0$的右边，如图3.2所示，红色部分面积一定覆盖蓝色部分面积，代表$p(\text data或者更极端| H_1=\text True) > p(\text data或者更极端| H_0=\text True)$。
2. 当$H_1$在$H_0$的左边，由图3.1可知，可以得出和3.2完全对称的结果，因此也有$p(\text data或者更极端| H_1=\text True) > p(\text data或者更极端| H_0=\text True)$。
3. 当$H_1$与$H_0$两个分布完全一致时，两个分布完全重合，此时理论上有$p(\text data或者更极端| H_1=\text True) = p(\text data或者更极端| H_0=\text True)$。但这种情况意味着 $H_1$与 $H_0$在当前数据空间中完全是同一件事（例如测量了学生各自在2023年与2022年的饭量平均值，然后进行假设检验，$H_0$: 明天会下雨，$H_1$: 明天不会下雨），这与假设检验的原理（也和我们实际给出的例子不同）不符合，因此实际上并不会出现这种情况。