dprime

如何计算d-prime以及推导

信号检测论中的核心指标是d'（dprime），它反映了个体辨别信号和噪音的能力。

$$d' = \frac{M_s-M_n}{\sigma}$$

d'的计算方式是信号的均值减去噪音的均值再除以两者分布的标准差。我们一般认为，当真实的信号和噪音分布离得越近（图1左），两者重叠越多，我们辨别两者的能力越差。如果两者的分布离得越远，两者重叠越少，我们辨别两者的能力越强（图1右）。越大的情况之下，那我们认为个体能辨别出信号和噪音的可能性就越大。同时，个体辨别信号和噪音的能力也会受到分布的标准差的影响：当两者的分布处于相同的距离时，如果标准差越大，那么二者重叠的部分越多，个体辨别出两者的可能性越小。所以d'既要考虑均值差异，还得考虑标准差大小。d'比正确率要好，因为正确率还会受反应标准的影响。有时候我们会为了计算简便，我们会直接假设两个分布的标准差为1，这个时候d'就直接等于两个均值的差异。

图1

接下来我们将学习如何基于实验计算出的四种情况（hit，miss，false alarm，correct reject）的数据来计算d'。首先我们先来看正态分布和正态分布的累积函数之间的关系。一般来说，均值为零，标准差为1的正态分布称为标准正态分布。标准正态分布的概率密度函数用$\phi$表示，

$$\phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(\frac{-z^2}{2})$$

标准正态分布的累积分布函数函数用$\Phi$表示，$f(x) = x * e^{2 pi i \xi x}$

$$\Phi(z)=\int_{-\infty}^{z} \phi(z)$$

如图2所示，概率密度函数中，z值左边阴影的面积，等于在累积分布函数中z对应的纵坐标大小。故标准正态分布的概率密度函数与累积函数之间存在积分关系，即

$$d\Phi(z)=\phi(z)$$

标准正态分布的累积分布函数的纵坐标是从0到1逐渐变化。由于标准正态分布曲线以均值为中心左右对称，所以当z正好等于零的时候，累积分布函数的纵坐标等于0.5，且：

$$1-\Phi(z)=\Phi(-z)$$

当我们知道$\Phi(z)$后，如果想知道对应的z值，则可以将其去z分数，将其转换为对应的z值，则

$$z(1-\Phi)=-z(\Phi)$$

图2

现在我们假定信号和噪音均为标准正态分布，那么d'为两者均值之间的距离，即图3b中绿线到左边虚线的距离与绿线到右边虚线的距离相加。当我们由实验数据计算得到误报率false alarm，其对应为图3a中蓝色阴影的面积，而图3a中白色区域的面积则对应正确拒绝的概率correct reject，由此我们计算得到绿线到左边虚线的距离为：

$$z(P_{CR})=z(1-P_{FA})=-z(P_{FA})=Z_{FA}$$

同理，当我们由实验数据计算得到击中率hit，其对应为图3a中红色阴影的面积，而图3a中白色区域的面积则对应漏报率miss，由此我们计算得到绿线到右边虚线的距离为：

$$-z(P_{M})$$

转换为用击中率表示则为：

$$-z(P_{M})=z(1-P_{H})=-(-z(P_{H}))=z(P_H)=Z_H$$

图3

所以，当信号和噪音都服从标准正态分布的时候，

$$d'=Z_H-Z_{FA}$$