# 几种常见的心理物理曲线 心理物理曲线（Psychometric Function）定义了物理刺激与主观感知之间的关系。它通过描绘被试者对不同强度的刺激所做出的反应概率，展示了感知系统如何处理这些刺激。

心理物理曲线示意图

心理物理曲线通常有三个关键特征： * 阈限（Threshold）及其对应的准确率：阈限是指被试者能可靠感知到刺激的最低强度，通常定义为正确反应概率达到某个标准值（如75%准确率）的刺激强度。阈限反映了个体感知系统的敏感性，阈限越低，感知系统越敏感。 * 斜率（Slope）：斜率代表心理物理曲线在阈限附近的陡峭程度，反映了感知系统对刺激强度变化的敏感性。斜率越大，意味着被试者对刺激强度的微小变化更加敏感；斜率越小，则说明被试者的反应变化较缓慢。 * 范围（Range）：范围指的是被试者从随机猜测到接近100%正确率之间的物理刺激强度范围。较宽的范围表明被试者需要较大的刺激变化才能提高判断准确率，而较窄的范围则表示被试者在较小范围内即可感知变化。 心理物理曲线可通过不同的函数形式进行拟合。以下介绍三种常见的心理物理曲线。 * **累积高斯函数（Accumulated Gaussian Function）** 数学表达式为： $$ y=γ+(1-γ)\*normcdf(x,\alpha, \beta) $$ 其中 * α为函数半高点所对应的刺激强度 * β为函数的slope * y为基线chance level的概率值 * normcdf为高斯分布的累计概率函数 ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import norm coh = np.arange(0.01, 1, 0.01) # coherence level fig, ax = plt.subplots(1,2, figsize=(9, 4)) # 定义参数 gamma = 0.5 # Baseline chance level beta = 0.2 # Gaussian分布的宽 plt.sca(ax[0]) alpha1 = 0.2 # threshold to half height y1 = gamma + (1-gamma) * norm.cdf(np.log(coh), loc=np.log(alpha1), scale=beta) alpha2 = 0.5 # threshold to half height y2 = gamma + (1-gamma) * norm.cdf(np.log(coh), loc=np.log(alpha2), scale=beta) alpha3 = 0.8 # threshold to half height y3 = gamma + (1-gamma) * norm.cdf(np.log(coh), loc=np.log(alpha3), scale=beta) plt.plot(coh, y1, '-', label='alpha=0.2') plt.plot(coh, y2, '-', label='alpha=0.5') plt.plot(coh, y3, '-', label='alpha=0.8') plt.xlabel('Coherence') plt.ylabel('Probability of correct') plt.legend() # 定义参数 gamma = 0.5 # Baseline chance level alpha = 0.5 plt.sca(ax[1]) beta1 = 0.2 # threshold to half height y1 = gamma + (1-gamma) * norm.cdf(np.log(coh), loc=np.log(alpha), scale=beta1) beta2 = 0.5 # threshold to half height y2 = gamma + (1-gamma) * norm.cdf(np.log(coh), loc=np.log(alpha), scale=beta2) beta3 = 0.8 # threshold to half height y3 = gamma + (1-gamma) * norm.cdf(np.log(coh), loc=np.log(alpha), scale=beta3) plt.plot(coh, y1, '-', label='beta=0.2') plt.plot(coh, y2, '-', label='beta=0.5') plt.plot(coh, y3, '-', label='beta=0.8') plt.xlabel('Coherence') plt.legend() ``` 运行上述代码将得到如图所示的结果，即分别调整α和β的参数值，累积高斯函数的不同形态。
* **Logistic函数** 数学表达式为： $$ P(x) = \gamma+(1-\gamma)*\frac{1}{1 + e^{-\beta*(x - \alpha)}} $$ 其中 * α为函数半高点所对应的刺激强度 * β为函数的slope，也叫inverse temperature parameter * y为基线chance level的概率值 ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import norm coh = np.arange(0.01, 1, 0.01) # coherence level def logsticfun(x, alpha, beta, gamma): y = gamma + (1-gamma)*1/(1+np.exp(-beta*(x-alpha))) return y fig, ax = plt.subplots(1,2, figsize=(9, 4)) # 定义参数 gamma = 0.5 # Baseline chance level beta = 10 # Gaussian 分布的宽 plt.sca(ax[0]) plt.plot(coh, logsticfun(coh, 0.2, beta, gamma), '-', label='alpha=0.2') plt.plot(coh, logsticfun(coh, 0.5, beta, gamma), '-', label='alpha=0.5') plt.plot(coh, logsticfun(coh, 0.8, beta, gamma), '-', label='alpha=0.8') plt.xlabel('Coherence') plt.ylabel('Probability of correct') plt.legend() # 定义参数 gamma = 0.5 # Baseline chance level alpha = 0.5 plt.sca(ax[1]) plt.plot(coh, logsticfun(coh, alpha, 5, gamma), '-', label='beta=5') plt.plot(coh, logsticfun(coh, alpha, 10, gamma), '-', label='beta=10') plt.plot(coh, logsticfun(coh, alpha, 20, gamma), '-', label='beta=20') plt.xlabel('Coherence') plt.ylabel('Probability of correct') plt.legend() ``` 运行上述代码将得到如图所示的结果，即分别调整α和β的参数值，Logistic函数的不同形态。
* **Weibull函数** 数学表达式为： $$ y = 1 - (1 - \gamma)\* e^{-(\frac{k\*x}{\alpha})^\beta} $$ 其中 $$ k = -\log{(\frac{1-g}{1-\gamma})^\frac{1}{\beta}} $$ 其中 * g为threshold对应的正确率 * α为该正确率下的threshold * β为函数的slope * γ为基线chance level的概率值 ```python # 先定义weibull函数 def weibullfun(x, alpha, beta, gamma, g): k = (-np.log((1-g)/(1-gamma)))**(1/beta) y = 1 - (1 - gamma)*np.exp(-(k*x/alpha) ** beta) return y ``` ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt coh = np.arange(0.01, 1, 0.01) # coherence level fig, ax = plt.subplots(1,2, figsize=(9, 4)) # 定义参数 g = 0.82 gamma = 0.5 # Baseline chance level beta = 5 # plt.sca(ax[0]) plt.plot(coh, weibullfun(coh, 0.2, beta, gamma, g), '-', label='alpha=0.2') plt.plot(coh, weibullfun(coh, 0.5, beta, gamma, g), '-', label='alpha=0.5') plt.plot(coh, weibullfun(coh, 0.8, beta, gamma, g), '-', label='alpha=0.8') plt.xlabel('Coherence') plt.ylabel('Probability of correct') plt.legend() # 定义参数 gamma = 0.5 # Baseline chance level alpha = 0.5 plt.sca(ax[1]) plt.plot(coh, weibullfun(coh, alpha, 0.5, gamma, g), '-', label='beta=0.5') plt.plot(coh, weibullfun(coh, alpha, 2, gamma, g), '-', label='beta=2') plt.plot(coh, weibullfun(coh, alpha, 5, gamma, g), '-', label='beta=5') plt.xlabel('Coherence') plt.ylabel('Probability of correct') plt.legend() ``` 运行上述代码将得到如图所示的结果，即分别调整α和β的参数值，Weibull函数的不同形态。
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