# 3.4 拓展阅读：p值

{% hint style="danger" %}

### <mark style="color:red;">**思考题**</mark>

为了比较华东师大学生2023年和2022年的饭量差异，我们分别测量了一些学生各自在2023年与2022年的饭量平均值，并将此数据集记为 $$\text data$$.

$$H\_0$$: 2022年和2023年的饭量没有显著差异

$$H\_1$$: 2022年和2023年的饭量有显著差异\\

然后你做了一个简单t检验

请问这个$$p$$值的意义?

1. $$H\_0$$为真的概率, 即$$p(H\_0=\text True)$$
2. $$H\_1$$为真的概率, 即$$p(H\_1=\text True)$$
3. 基于当前数据，$$H\_0$$为真的概率，即$$p(H\_0=\text True | \text data)$$
4. 基于当前数据，$$H\_1$$为真的概率，即$$p(H\_1=\text True |\text  data)$$
5. 如果$$H\_0$$为真，观察到$$\text data$$当前数据的概率，即$$p(\text data | H\_0=\text True)$$
6. 如果$$H\_1$$为真，观察到当前数据的概率，即$$p(\text data | H\_1=\text True)$$
7. 如果$$H\_0$$为真，观察到当前数据甚至更极端的数据的概率，即$$p(\text data或者更极端 | H\_0=\text True)$$
8. 如果$$H\_1$$为真，观察到data甚至更极端的数据的概率，即$$p(\text data或者更极端 | H\_1=\text True)$$
   {% endhint %}

在假设检验中，我们认为数据可能是在两种原因下产生的，一是$$H\_0$$，二是$$H\_1$$。在$$t$$检验中，我们假设$$H\_0$$为真，$$p$$值代表的含义是观察到当前数据以及更极端数据的可能性。因此，如果我们使用条件概率的方式来看待熟悉的假设检验，正确的表示为：$$p = p(\text data或者更极端 | H\_0=\text True)$$

{% hint style="danger" %}

### <mark style="color:red;">**进一步思考**</mark>

1. $$p(\text data或者更极端| H\_0=\text True) + p(\text data或者更极端| H\_1=\text True) = 1$$ 一定成立吗？
2. 有没有可能 $$p(\text data或者更极端 | H\_1=\text True) < p(\text data或者更极端 | H\_0=\text True)$$?
   {% endhint %}

***

**一方面，如果我们使用本章所学的**[**似然函数**](https://ruyuanzhang.gitbook.io/compmodcogpsy/3.2-gailtui-duan/3.2.1-si-ran-han-shu#si-ran-han-shu)**的角度看待这个问题，我们可以将此问题中出现的概率填入**[**洒水问题**](https://ruyuanzhang.gitbook.io/compmodcogpsy/3.2-gailtui-duan/3.2.1-si-ran-han-shu#tiao-jian-gailfen-bu)**相似的表格。**

首先，将data或者更极端记做 $$\hat {data}$$，比data更常见记做 $${data}$$，可以得到表格如下:

<figure><img src="https://1379976374-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2Fu8x1pCBjIDBIizdIV9Wv%2Fuploads%2FSeY0M3wUujTZcFZy5dZm%2F%E5%9B%BE%E7%89%871.png?alt=media&#x26;token=29065b78-8358-457a-8d57-86c5692d0d6f" alt=""><figcaption></figcaption></figure>

对于问题1，由似然函数的性质可知，$$p(\text data或者更极端| H\_0=\text True) + p(\text data或者更极端| H\_1=\text True) = p+q$$ 不一定等于 1

但对于问题2， $$p(\text data或者更极端 | H\_1=\text True) < p(\text data或者更极端 | H\_0=\text True)  \iff q\<p$$$$p+ q$$ 的取值似乎并没有限制。

**另一方面，我们可以使用直观作图的方法来探究这两个问题。**

首先，我们需要明确 $$\text data或者更极端$$ 的定义。由于我们使用的是双尾检验，那么如下图3.1所示， $$\text data或者更极端$$ 应该被定义为**data以及远离** $$H\_0$$ **分布中心**。

<figure><img src="https://1379976374-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2Fu8x1pCBjIDBIizdIV9Wv%2Fuploads%2FvXWaJvlJdKuoykPn5pBJ%2F1.png?alt=media&#x26;token=93ad77b0-b4ff-4468-94e6-67c7e8b8816e" alt=""><figcaption></figcaption></figure>

接着，我们对$$H\_0$$和$$H\_1$$代表的两个分布进行可视化 (注意：$$H\_0$$和$$H\_1$$代表的两个分布方差一致)

在图3.2中，条件概率被表示为曲线下面积，如蓝色部分面积表示了$$p(\text data或者更极端| H\_0=\text True)$$,红色部分面积表示了$$p(\text data或者更极端 | H\_1=\text True)$$，橙色部分面积则表示了$$p(\text data| H\_1=\text True)$$。我们知道红色部分和橙色部分面积之和一定等于1。那么明显的（例如图中的极端情况蓝色部分面积远远小于橙色部分，并且很幸运的是，对于问题一我们只需举出一个反例就可以完全推翻），蓝色部分面积并不恒等于橙色部分面积，因此蓝色部分与红色部分面积综合并不一定为1。

<figure><img src="https://1379976374-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2Fu8x1pCBjIDBIizdIV9Wv%2Fuploads%2FUvQsQiEMgWyiPeGK9NgN%2F2.png?alt=media&#x26;token=27ddb45b-4cfb-4313-9e95-d5228c933f4d" alt=""><figcaption><p>图3.2</p></figcaption></figure>

对于问题2：

1. 当$$H\_1$$在$$H\_0$$的右边，如图3.2所示，红色部分面积一定覆盖蓝色部分面积，代表$$p(\text data或者更极端| H\_1=\text True) > p(\text data或者更极端| H\_0=\text True)$$。
2. 当$$H\_1$$在$$H\_0$$的左边，由图3.1可知，可以得出和3.2完全对称的结果，因此也有$$p(\text data或者更极端| H\_1=\text True) > p(\text data或者更极端| H\_0=\text True)$$。
3. 当$$H\_1$$与$$H\_0$$两个分布完全一致时，两个分布完全重合，此时理论上有$$p(\text data或者更极端| H\_1=\text True) = p(\text data或者更极端| H\_0=\text True)$$。但这种情况意味着 $$H\_1$$与 $$H\_0$$在当前数据空间中完全是同一件事（例如测量了学生各自在2023年与2022年的饭量平均值，然后进行假设检验，$$H\_0$$: 明天会下雨，$$H\_1$$: 明天不会下雨），这与假设检验的原理（也和我们实际给出的例子不同）不符合，因此实际上并不会出现这种情况。
